GEJALA PEMUSATAN (TENDENCY CENTRAL) DAN UKURAN LETAK

GEJALA PEMUSATAN (TENDENCY CENTRAL) DAN UKURAN LETAK

Dasar utama atau hal yang menjadi awal pemahaman dalam statistika adalah adalah gejala pemusatan dan ukuran letak, dimana di sana dibahas tentang mean, modus, kuartil, persentil, simpangan baku, dan masih banyak hal-hal lain yang dibahas dalam memberikan dasar pada pemahaman lanjutan pada statistika.

Berikut ini saya mencoba memaparkan beberapa hal tersebut di atas, yang saya coba selesaikan dengan berbagai sumber rujukan baik tulis dan komunikasi dengan berbagai pihak sebagai berikut :

Contoh soal :

Data ulangan 30 siswa sebagai berikut :

52, 49, 44, 58, 48, 57, 54, 50, 54, 49, 51, 49, 45, 51, 46, 50, 49, 44, 50, 53, 51, 53, 45, 52, 50, 50, 55, 50, 50, 53

Tentukan :

a. Nilai rata-rata, median, modus, kuartil pertama, kuartil ketiga, desil keempat, persentil keenampuluhlima, dan simpangan baku dari data tersebut!

b. Sajikan data di atas ke dalam bentuk tabel distribusi frekuensi!

c. Sajikan data di atas ke dalam bentuk boxplot dan histogram beserta poligon frekuensi yang diperhalus berdasarkan tabel distribusi frekuensi pada poin a!

b. Tentukan nilai rata-rata hitung, median, modus, dan simpangan baku berdasarkan tabel distribusi frekuensi pada poin b!

Jawaban :

a. Nilai rata-rata, median, modus, kuartil pertama, kuartil ketiga, desil keempat, persentil keenampuluhlima, dan simpangan baku.

Mengurutkan data terlebih dahulu :

Membuat tabel kolom baris dari data yang telah diurutkan :

Kemudian, kita hitung dengan rumus sebagai berikut :

Selanjutnya, berikut perhitungan kuartil, desil, dan persentil :

Simpangan Baku Populasi (σ)

Untuk memudahkan menghitung simpangan baku populasi (σ), maka dari tabel kolom baris, kita tambahkan
beberapa kolom lagi sebagai berikut :

Kemudian kita hitung simpangan bakunya sebagai berikut :

Jadi Jawaban untuk nomor poin a terangkum dalam tabel berikut :

b. Tabel distribusi frekuensi.

Sebelum membuat tabel distribusi frekuensi, terlebih dahulu kita hitung data-data pendukung, sebagai berikut :

Range (r) = max – min = 58 – 44 = 14

Banyak Kelas (k) = 1 + (3,3 x log n)

= 1 + (3,3 x log 30)

= 1 + (3,3 x 1,4771)

= 1 + 4,87443

= 5,87443 Banyak kelas 5 (supaya komunikatif)

Panjang Kelas (i) = r / k

= 14 / 5

= 2,8 Panjang Kelas = 3

Uji syarat : k x i >= r + 1

5 x 3 >= 14 + 1

15 >= 15 (Memenuhi)

Sehingga, tabel distribusi frekuensinya sebagai berikut :

c. Boxplot dan histogram beserta poligon frekuensi yang diperhalus.

Data pendukung pembuatan bloxpot :

Min = 44 Kuartil 1 = 49; Median = 50 Kuartil 3 = 53 Max = 58

IQR = Q3 – Q1 = 53 – 49 = 4

Q3 + (1.5 x IQR) < outlier ≤ Q3 + (3 x IQR)

53 + (1,5 x 4) < outlier ≤ 53 + (3 x 4)

59 < outlier ≤ 65

Q1 - (1.5 x IQR) > outlier ≥ Q1 - (3 x IQR)

49 – (1,5 x 4) > outlier ≥ 49 – (3 x 4)

43 > outlier ≥ 37

Nilai Outlier : 59 < outlier ≤ 65 atau 43 > outlier ≥ 37

Tidak ada data yang lebih besar dari 65 dan lebih kecil dari 37, sehingga tidak memiliki outlier dan nilai ekstrim. Diagram boxplotya adalah sebagai berikut :

Data pendukung pembuatan histogram beserta poligon frekuensi yang diperhalus.

Dengan mengambil batas bawah kelas interval pertama – 0,5 dan batas atas setiap kelas interval + 0,5. Sehingga diperoleh data absis (nilai) : 43,5; 46,5; 49,5; 52,5; 55,5; dan 58,5. Maka histogram dan poligon frekuensi yang diperhalusnya adalah :

d. Rata-rata hitung, median, modus, dan simpangan baku berdasarkan tabel distribusi frekuensi pada poin b (data berkelompok/ berbobot) !

Untuk menghitung nilai rata-rata pada data berkelompok / berbobot (berinterval), maka dapat dengan menggunakan cara “tanda kelas” dan rata-rata duga / assumed mean (AM). Pada kedua cara perhitungan tersebut akan menghasilkan nilai hasil hitung yang sama.

Mean dengan cara “tanda kelas”

kita ubah tabel distribusi frekuensi menjadi seperti berikut :

Kemudian kita hitung dengan rumus sebagai berikut :

Mean dengan cara “asumed mean / AM”
kita ubah tabel distribusi frekuensi menjadi seperti berikut :

AM diambil pada baris interval kelas ke 3, sehingga AM = (50+52) : 2 = 51

p = interval kelas.

Sehingga mean dengan cara AM dapat dihitung sebagai berikut :

Terbukti sama (50,50) baik jika dihitung dengan tanda kelas maupun dengan Mean duga-duga (AM).

Modus dari data berkelompok :

Data pendukung untuk menghitung modus data berkelompok :

Bb_mo= batas bawah data dengan frekuensi tertinggi, pada soal = 50

p = panjang kelas interval, pada soal = 3

b₁ = selisih frekuensi mengandung modus dengan frekuensi sebelumnya, pada soal : 12 – 5 = 7

b₂ = selisih frekuensi mengandung modus dengan frekuensi sesudahnya, pada soal : 12 – 6 = 6

Median dari data berkelompok :

Data pendukung untuk menghitung median data berkelompok :

Bb_Me = batas bawah kelas interval yang mengandung Me, pada soal letak Me dapat diketahui dari : data ke ( ½ (n + 1)) = data ke 15 (berada pada kelas interval 3. Dan batas bawah kelas interval yang mengandung Me adalah 49,5

F_Me = frekuensi komulatif sebelum kelas interval yang mengandung Me, pada soal : 5 + 5 = 10

f_Me = frekuensi kelas interval yang mengandung Me, pada soal = 12

p = panjang kelas interval, pada soal = 3

n = banyak data

Simpangan Baku Populasi untuk data berkelompok Untuk memudahkan menghitung simpangan baku populasinya (σ) pada data berkelompok, dapat kita hitung dengan cara koding (kombinasi dengan mean sistem AM), maka dari tabel distribusi frekuensi, kita tambahkan beberapa kolom lagi sebagai berikut